Contoh Soal Barisan Dan Deret Aritmatika Beserta Jawabannya

Pembahasan mata pelajaran matematika kali ini akan mengupas dilema perihal barisan dan deret aritmatika.

Persoalan yang paling kerap timbul atau ditanyakan merupakan mencari suku ke-n dari suatu barisan, menentukan beda antar suku, menyeleksi banyaknya suku dan mencari nilai suku pertama.

Namun sebelum kita memasuki ke latihan soal, kita akan mengetahui apalagi dulu apa itu barisan dan deret aritmatika. Karena selain barisan dan deret aritmatika, kita juga mengenal barisan dan deret geometri. Namun dalam pembahasan kali ini, konsentrasi kita teteap pada barisan dan deret aritmatika.

Barisan dan Deret Aritmatika

Setelah diuraikan dalam klarifikasi selanjutnya, diperlukan kita mengerti seumpama apa barisan atau deret serta perbedaannya dan juga mengenali maksud dari barisan dan deret aritmatika. Disamping itu kita sanggup mengetahui yang mana dinamakan suku dan nilai beda.

Apa itu Barisan ?

Barisan merupakan suatu susunan bilangan terbuat menurut suatu urutan tertentu.  Setiap bilangan dalam barisan merupakan suku dalam barisan.
Contoh:

• 1, 2, 3, 4, 5,6,7  (Bilangan 1 merupakan suku pertama, bilangan 2 merupakan suku kedua dst)
• 2, 5, 8, 11, 14,17 (Bilangan 8 merupakan suku ketiga, bilangan 17 merupakan suku keenam).
• 14, 12, 10, 8, 6, 4, 2 (Bilangan 12 merupakan suku kedua, bilangan 10 merupakan suku ketiga dst).

Sehingga terang bahwa barisan itu kumpulan bilangan yang memiliki pola tertentu, sedangkan bilangan-bilangan yang membentuk barisan dengan pola tertentu dinamakan suku. Ada yang bertindak selaku suku pertama, kedua, ketiga dst.

Apa itu Deret ?

Penjumlahan suku-suku dari suatu barisan disebut deret. Jika U₁,U₂,U₃,…..U_n
maka : U₁ + U₂ + U₃ +… +U_n merupakan deret.

Contoh :

1 + 2 + 3 + 4 +… + .U_n

2 + 4 + 6 + 8 +… + .U_n

Apa itu barisan Aritmatika ?

Barisan aritmatika merupakan barisan yang memiliki nilai selisih antara dua suku yang berurutan senantiasa tetap. Selisih dua suku berurutan tersebut disebut nilai beda, disimbolkan dengan b.

Dalam barisan aritmatika, urutan perbedaan antara satu suku dengan suku selanjutnya merupakan konstan. Dengan kata lain, kita cuma menyertakan nilai yang serupa setiap waktu.

Contoh:

1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, ...

Barisan tersebut memiliki nilai beda 3 antara satu suku dengan suku berikutnya.

Secara umum, kita sanggup menulis barisan aritmatika tersebut :

{a, a+b, a+2b, a+3b, ... }

dimana:

• a merupakan suku pertama, 
• b merupakan nilai beda.

Rumus-Rumus Barisan Aritmatika

1. Untuk mencari Suku ke-n :

U_n = a + (n - 1)b
dimana :

• U_n: suku ke-n 
• a: suku pertama 
• b: nilai beda 
• n: banyak suku

2. Untuk mencari nilai beda :

b = U_n-U_(n-1)
dimana :

• b merupakan nilai beda
• U_n: suku ke-n 

3. Untuk mencari Suku Tengah 
Kita sanggup mencari suku tengah yang memiliki n suku ganjil (banyaknya sukunya ganjil) dimana dikenali suku pertama dan suku terakhir, maka digunakan rumus :

U_t = a + U_n 2
dimana :

• U_t merupakan suku tengah
• a merupakan suku pertama
• U_n merupakan suku ke-n (dalam hal ini bertindak selaku suku terakhir)

Namun kalau untuk mencari suku tengah yang kondisinya cuma dikenali suku pertama, banyaknya n suku dan nilai beda, maka rumusnya:

U_t = a + (n-1)b 2 dimana :

• U_t merupakan suku tengah
• a merupakan suku pertama
• n menyatakan banyaknya suku
• b menyatakan nilai beda

Apa itu Deret Aritmatika

Deret aritmatika merupakan jumlah dari barisan aritmatika yang lazim ditandai dengan tanda plus (+).

Contoh :

• 2 + 4 + 6 + 8 + 10
• 3 + 6 + 9 + 12 + 15

Untuk mencari jumlah dari suatu deret aritmatika, digunakan rumus:

S_n = n 2 (a+U_n)
atau
S_n = n 2 (2a + (n-1)b) dimana :

• S_n menyatakan jumlah suku ke-n
• a merupakan suku pertama
• U_n menyatakan nilai suku ke-n
• b menyatakan nilai beda
• n menyatakan banyaknya suku

Latihan Soal

Soal No.1

---

Sebuah barisan aritmatika memiliki jumlah suku ganjil. Jika suku pertamanyanya 4 dan suku terakhirnya merupakan 20, maka suku tengahnya adalah:
a. 12
b. 8
c. 10
d. 16

Pembahasan

a = 4
U_n = 20
U_t= a + U_n 2 = 20 + 4 2 = 12

Jawab : a


Soal No.2

---

Terdapat suatu barisan aritmatika sebanyak tujuh suku. Jika suku pertama dan nilai bedanya merupakan 2. Berapakah suku tengahnya ?
a. 9
b. 8
c. 10
d. 12

Pembahasan:

a = 2
b = 2
n = 7
U_t= a + (n-1)b 2 U_t= a + (n-1)b 2 = 2 + (7-1)2 2 = 8

Jawab : b



Soal No.3

---

Diketahui suatua barisan aritmatika :2, 5, 8, 11, 14, .........U_n. Tentukan rumus suku ke-n dalam barisan aritmetika tersebut:
a. U_n = 3n -1
a. U_n = 3n -2
c. U_n = 3n + 1
d. U_n = 3n + 3

Pembahasan:

a = 2
b = 3
U_n= a + (n-1)b
U_n= 2 + (n-1)3 = 2 + 3n - 3 = 3n-1

Jawab : a


Soal No.4

---

Diketahui U₂ + U₄ = 12 dan U₃ + U₅ = 16, maka suku ke-7 barisan itu merupakan
a. 15
b. 14
c. 12
d. 10

Pembahasan

Dari penjumlahan suku ke-2 dan ke-4 :
(1) U₂ +U₄ = 12
⇒ (a + b) + (a + 3b) = 12
⇒ 2 a + 4b = 12
⇒ a + 2b = 6

Dari penjumlahan suku ke-3 dan ke-5 :
(2) U₃ + U₅ = 16
⇒ (a + 2b) + (a + 4b) = 16
⇒ 2a + 6b = 16
⇒ a + 3b = 8

Langkah berikutnya, kita akan melakukan substitusi persamaa 1 ke persamaan 2:
a + 2b = 6
a = 6 – 2b.... substitusi ke persamaan (2)

Persamaan (2):
a + 3b = 8
⇒ 6 – 2b + 3b = 8
⇒ 6 + b = 8
⇒ b = 2

Karena b = 2, maka a = 6 – 2(2) = 6 – 4 = 2.

Jadi, suku pertama barisan itu merupakan 2 dan suku ke-7 barisan aritmatika tersebut merupakan :
U₇ = a + 6b
⇒ U₇ = 2 + 6(2) ⇒ U₇ = 14

Jawab: b


Soal No.5

---

Dalam suatu barisan aritmatika dikenali suku kedua merupakan 5 dan suku kelima merupakan 14. Maka berapakah jumlah 10 suku pertama dari barisan aritmatika tersebut ?
a. 210
b. 300
c. 430
d. 155

Pembahasan:

Suku Kedua :
⇒ U₂ = 5
⇒ a + b = 5
⇒ a = 5 - b...(Persamaan 1)

Suku Kelima :
⇒ U₅ = 14
⇒ a + 4b = 14...(Persamaan 2)

Substitusi Persamaan 1 ke Persamaan 2
⇒ a + 4b = 14
⇒ 5 - b + 4b = 14
⇒ 3b = 9
⇒ b = 3
Makara a = 5 -b
⇒ a = 5 - 3 = 2

Jumlah 10 suku pertama:
⇒ S_n= n 2 (a+U_n)
⇒ S₁₀= 10 2 (a+U₁₀)
⇒ S₁₀= 5 (a + a + 9b)
⇒ S₁₀= 5 (2 + 2 + 9.3)
⇒ S₁₀= 155

Jawab: d

Soal No.6

---

Diketahui suatu suku ke-4 dan suku ke-9 dari deret aritmatika merupakan 16 dan 51. Jumlah 25 suku pertama merupakan ...
a. 163
b. 326
c. 1975
d. 3950

Pembahasan

Rumus suku ke-n :
U_n = a + (n - 1)b

Suku ke-4 :
⇒ U₄ = 16 ⇒ a + 3b = 16 ......(Persamaan 1)

Suku ke-9 :
⇒ U₉ = 51 ⇒ a + 8b = 51 ......(Persamaan 2)

Lakukan penngurangan Persamaan(2) dengan Persamaan(1) :

a + 8b = 51 a + 3b = 16 ___________ _     5b = 35      b = 7

Masukkan nilai b ke Persamaan (1):
⇒ a + 3b = 16
⇒ a + 3(7) = 16
⇒ a + 21 = 16
⇒ a = 16 -21
⇒ a = -5

Jumlah 25 suku pertama:
⇒ S_n= n 2 (a+U_n)
⇒ S₂₅ = 25 2 (a + U₂₅)
⇒ S₂₅ = 25 2 (a + a + 24b )
⇒ S₂₅ = 25 2 (-5 - 5 + 24(7) )
⇒ S₂₅ = 25 2 (-10 + 168 )
⇒ S₂₅ = 25 2 158
S₂₅ = 1975

Jawab : c

Soal No.7

---

Diketahui jumlah 3 bilangan genap berurutan 114.Jumlah bilangan paling besar dan terkecil adalah....
a. 36 dan 40
b. 36 dan 38
c. 38 dan 40
d. 36 dan 42

Pembahasan

Dari soal di atas, bilangan genap berurutan niscaya akan memiliki nilai beda sama dengan 2.

Lalu dari bilangan genap berturut-turut, sanggup kita misalkan U₁, U₂, U₃

Dari soal dikenali tiga bilangan genap berurutan bernilai 114, sanggup kita maknai selaku :
U₁ + U₂ + U₃ = 114
Suku ke-1 merupakan :
⇒ U₁ = a + (1 - 1) 2
⇒ U₁ = a

Suku ke-2:
⇒ U₂ = a + (n - 1) b
⇒ U₂ = a + (2 - 1) 2
⇒ U₂ = a + 2

Suku ke-3:
⇒ U₃ = a + (n - 1) b
⇒ U₃ = a + (3 - 1) 2
⇒ U₃ = a + 4

Lalu jumlahkan ketiga suku tersebut :
U₁ + U₂ + U₃ = 114
⇒ a + a + 2 + a + 4 = 114
⇒ 3a + 6 = 114
⇒ 3a = 114 - 6
⇒ 3a = 108
⇒ a = 36

Makara suku ke-2 merupakan :
⇒ U₂ = a + 2
⇒ U₂ = 36 + 2
⇒ U₂ = 38

Makara suku ke-3 merupakan :
⇒ U₂ = a + 4
⇒ U₂ = 36 + 4
⇒ U₂ = 40

Makara nilai bilangan terkecil 36 dan bilangan paling besar 40

Jawab : a

Soal No.8

---

Tentukan suku ke-50 dari barisan berikut:
5, -2, -9, -16, ....
a. -338
b. -77
c. -438
d. 128

Pembahasan

a = 5

Misal kita cari beda suku ke-3 dan ke-2
b = U_n-U_(n-1)
b = U₃-U_(3-1)
b = U₃-U₍₂₎
b = (-9) - (-2)
b = -9 + 2
b = -7

Maka suku ke-50:
U_n = a + (n - 1)b
U₅₀ = 5 + (50 - 1).-7
U₅₀ = 5 + (49).-7
U₅₀ = 5 - 343
U₅₀ = -338

Jawab : a

Soal No.9

---

Jika dikenali barisan aritmatika dengan suku ke-3 = 12 dan suku ke-8 = 37. Maka suku pertama dan nilai bedanya adalah...
a. suku pertama = 2 dan nilai beda = 7
b. suku pertama = 2 dan nilai beda = 5
c. suku pertama = 7 dan nilai beda = 7
d. suku pertama = 7 dan nilai beda = 5

Pembahasan

Diketahui suku ke-3 = U₃ = 12, maka
U_n = a + (n - 1)b
12 = a + (3 - 1)b
12 = a + 2b .....Persamaan (1)

Diketahui suku ke-8 = U₃ = 37, maka
U_n = a + (n - 1)b
37 = a + (8 - 1)b
12 = a + 7b .....Persamaan (2)

Lakukan penghematan persamaan (2) dan (1)

a + 7b = 37 a + 2b = 12 ___________ _     5b = 25      b = 5 

Masukkan nilai b ke Persamaan (1):
⇒ a + 2b = 12
⇒ a + 2(5) = 12
⇒ a + 10 = 12
⇒ a = 12 - 10
⇒ a = 2

Makara suku pertama = 2 dan nilai beda = 5

Jawab b

Anda sanggup menyimak pembahasan dari teladan soal dalam bentuk video berikut ini :

Tweet

Subscribe to receive free email updates: