Contoh Soal Persamaan Garis Singgung Kurva Beserta Pembahasannya

Edisi panduan pelajaran matematika kita kali ini merupakan topik ihwal menyeleksi persamaan garis singgung suatu kurva.

Sebelum kita masuk ke latihan soal, apalagi dulu kita akan mengetahui beberapa rancangan penting, menyerupai mencari gradien, sifat-sifat gradien dan rumus dalam mencari persamaan garis singgung. Setelah itu gres akan dilanjutkan dengan kumpulan soal ihwal persamaan garis singgung pada kurva.

Mencari Nilai Gradien Garis

Gradien garis disimbolkan dengan "m" sanggup dicari nilainya menurut persamaan garisnya, dimana :

Jika persamaan y = ax + b ⇒ m = a
Jika persamaan ax+by=c ⇒ m = -

a / b

Jika lewat dua titik, misal (x₁,y₁) dan (x₂,y₂) ⇒ m =

(y₂ - y₁) / (x₁ - x₂)

Jika membentuk sudut α kepada sumbu-x positif ⇒ m = tan α
Jika terdapat kurva y = f(x) disinggung oleh suatu garis di titik (x₁,y₁) ⇒ m = f'((x₁)

Untuk gradien dua garis lurus, berlaku ketentuan :

• jika saling sejajar maka m₁ = m₂
• jika saling tegak lurus maka m₁ . m₂ = -1 atau m₁ =
  -1 / m₂

Persamaan Garis Singgung Kurva

Persamaan garis singgung kurva y = f(x) yang disinggung oleh suatu garis di titik (x₁,y₁), maka gradien garis singgung tersebut merupakan m = f'(x1). Sementara itu x₁ dan y₁ memiliki korelasi y₁ = f(x₁). Sehingga persamaan garis singgungnya sanggup dinyatakan dengan y – y1 = m(x – x1).

Contoh Soal Persamaan Garis Singgung Kurva

Soal No.1

---

Carilah gradien garis singgung kurva f(x) = 5x² – 8x + 4 di titik(2, 8) ?

Pembahasan

Titik singgung dititik (2, 8), maka x₁ = 2
Dengan demikian, gradien garis merupakan : m = f’(x1)
m = 10x1 – 8
m = 10(2) – 8
m = 12

Soal No.2

---

Tentukanlah persamaan garis singgung untuk kurva y = x² + 2x di titik (1,3)

Pembahasan

f(x) = x2 + 2x
f'(x) = 2x + 2
m = f '(1) = 2(1) + 2 = 4
m = 4

Jadi, persamaan garis singgungnya merupakan :
y – y₁ = m(x – x₁)
y − 3 = 4(x − 1)
y − 3 = 4x − 4
y = 4x − 1

Soal No.3

---

Tentukanlah Persamaan garis singgung kurva y = 2x - 3x² di titik dengan absis 2

Pembahasan

Absis itu merupakan sumbu-x, jadi x =2:
Langkah 1 : Cari titik singgung dengan memasukkan nilai x = 2
y = 2x - 3x²
y = 2(2) − 3(2)²
y = −8
Kaprikornus titik singgung : (2, −8)

Langkah 2: Cari nilai gradien
f(x) = 2x − 3x²
f '(x) = 2 − 6x
m = f '(2) = 2 − 6(2) = −10
m = −10

Jadi, persamaan garis singgungnya merupakan :
y – y₁ = m(x – x₁)
y − (−8) = −10(x − 2)
y + 8 = −10x + 20
y = −10x + 12

Soal No.4

---

Tentukanlah Persamaan garis singgung kurva y = 2x³ - 4x² di titik berabsis 2

Pembahasan

Absis itu merupakan sumbu-x, jadi x =2:
Langkah 1 : Cari titik singgung dengan memasukkan nilai x = 2
y = 2x³ - 4x²
y = 2(2)³ − 4(2)²
y = 16 - 16
y = 0
Kaprikornus titik singgung : (2, 0)

Langkah 2: Cari nilai gradien
f(x) = 2x³ - 4x²
f '(x) = 6x² - 8x
m = f '(2) = 6(2)² − 8(2)
m = 24 - 16
m = 8

Jadi, persamaan garis singgungnya merupakan :
y – y₁ = m(x – x₁)
y − 0 = 8(x − 2)
y = 8x - 16

Soal No.5

---

Tentukanlah Persamaan garis singgung kurva y = x² di titik berabsis -2

Pembahasan

Absis itu merupakan sumbu-x, jadi x = -2:

Langkah 1 : Cari titik singgung dengan memasukkan nilai x = -2
y = x²
y = (-2)²
y = 4
Kaprikornus titik singgung : (-2, 4)

Langkah 2: Cari nilai gradien
f(x) = x²
f '(x) = 2x
m = f '(-2) = 2(-2)
m = -4

Jadi, persamaan garis singgungnya merupakan :
y – y₁ = m(x – x₁)
y − 4 = -4(x − (-2))
y - 4 = -4x - 8
y = -4x - 4

Soal No.6

---

Tentukanlah persamaan garis singgung untuk kurva y = 3 + 2x - x² sejajar dengan garis 4x + y = 3

Pembahasan

Langkah 1 : Cari nilai m₁
y = 3 + 2x - x²
m₁ = f'(x) = -2x + 2
m₁ = -2x + 2

Langkah 2 : Cari nilai m₂
4x + y = 3
y = -4x + 3
m₂ = -4 (Inga !! Jika y = ax + b ⇒ m = a )

Langkah 3 : Cari nilai x
Karena kedua garis saling sejajar maka berlaku :
m₁ = m₂
-2x + 2 = -4
-2x = -6
x = 3
Langkah 4 : Cari nilai y dengan memasukkan nilai x = 3
y = 3 + 2x - x²
y = 3 + 2(3) - 3²
y = 3 + 6 - 9
y = 0

Sekarang kita sudah memiliki titik singgung (3,0)

Langkah 4: Persamaan garis singgung
y – y₁ = m(x – x₁)
y - 0 = -4(x - 3)
y = -4x + 12

Soal No.7

---

Carilah persamaan garis singgung pada kurva y = x³ + 10 di titik yang berordinat 18 ?

Pembahasan

Ordinat itu merupakan sumbu-y, jadi y = 18

Langkah 1 : Cari titik singgung dengan memasukkan nilai y = 18
y = x³ + 10
18 = x³ + 10
x³ = 18 - 10
x³ = 8
x = 2
Kaprikornus titik singgung : (2,18)

Langkah 2: Cari nilai gradien
f(x) = x³ + 10
f'(x) = 3x²
m = f'(2) = 3(2)²
m = 12

Jadi,Persamaan garis singgungnya merupakan y – y₁ = m(x – x₁)
y - 18 = 12(x - 2)
y - 8 = 12x - 24
y = 12x - 16

Soal No.8

---

Carilah persamaan garis singgung pada kurva y = x² - x + 3 di titik yang berordinat 5 ?

Pembahasan

Ordinat itu merupakan sumbu-y, jadi y = 5

Langkah 1 : Cari titik singgung dengan memasukkan nilai y = 5
y = x² - x + 3
5 = x² - x + 3
x² - x + 3 - 5 = 0
x² - x - 2 = 0
(x - 2)(x + 1) = 0
x = 2 atau x = -1
Kaprikornus terdapat dua titik singgung : (2,5) atau (-1,5)

Langkah 2: Cari nilai gradien
Nilai gradien untuk x = 2
f(x) = x² - x + 3
f'(x) = 2x - 1
m = f'(2) = 2(2) - 1
m = 3

Nilai gradien untuk x = -1
f(x) = x² - x + 3
f'(x) = 2x - 1
m = f'(-1) = 2(-1) - 1
m = -3

Langkah 3: Menentukan persamaan garis singgung
Karena kita memiliki dua titik singgung, pastinya akan ada dua persamaan garis singgung

Persamaan garis singgungnya untuk titik (2,5) dengan m = 3
y – y₁ = m(x – x₁)
y - 5 = 3(x - 2)
y = 3x - 6 + 5
y = 3x - 1

Persamaan garis singgungnya untuk titik (-1,5) dengan m = -3
y – y₁ = m(x – x₁)
y - 5 = -3(x - (-1))
y - 5 = -3x - 3
y = -3x + 2

Jadi, ada dua persamaan garis singgung, yakni y = 3x - 1 atau y = -3x + 2

Soal No.9

---

Carilah persamaan garis singgung pada kurva y = x² - 5x + 6 jikalau gradien garis singgungnya merupakan 3 ?

Pembahasan

Langkah 1: Cari titik singgungnya
f(x) = x² - 5x + 6
f'(x) = 2x - 5
m = f'(x)
3 = 2x - 5
2x = 3 + 5
x = 4

y = x² - 5x + 6
y = 4² - 5(4) + 6
y = 16 - 20 + 6
y = 2

Kaprikornus titik singgung : (4,2)

Langkah 2: Menentukan persamaan garis singgung
y – y₁ = m(x – x₁)
y - 2 = 3(x - 4)
y - 2 = 3x - 12
y = 3x - 10

Soal No.10

---

Tentukanlah persamaan garis singgung kurva y = x³ - 3x² - 5x + 10 jikalau gradien garis singgungnya merupakan 4 ?

Pembahasan

Langkah 1: Cari titik singgungnya f(x) = x³ - 3x² - 5x + 10
f'(x) = 3x² - 6x - 5
m = f'(x)
4 = 3x² - 6x - 5
3x² - 6x - 9 = 0 (lalu kita bagi 3)
x² - 2x - 3 = 0
(x - 3)(x + 2) = 0
x = 3 atau x = -2

Untuk x = 3
y = x³ - 3x² - 5x + 10
y = 3³ - 3(3)² - 5(3) + 10
y = 27 -27 - 15 + 10
y = -5
Titik singgung pertama (3,-5)

Untuk x = -2
y = x³ - 3x² - 5x + 10
y = (-2)³ - 3(-2)² - 5(-2) + 10
y = -8 - 12 + 10 + 10
y = 0
Titik singgung kedua (-2,0)

Langkah 2: Menentukan persamaan garis singgung
Untuk titik singgung pertama (3,-5)
y – y₁ = m(x – x₁)
y – (-5) = 4(x – 3)
y + 5 = 4x -12
y = 4x -17

Untuk titik singgung kedua (-2,0)
y – y₁ = m(x – x₁)
y – 0 = 4(x – (-2))
y = 4x + 8

Kaprikornus ada dua persamaan garis singgung yakni :
y = 4x -17 dan y = 4x + 8

Soal No.11

---

Tentukanlah persamaan garis singgung kurva y = 3 - x² yang tegak lurus kepada garis 4y = x + 1 ?

Pembahasan

Langkah 1 : Cari nilai m₁
y = 3 - x²
m₁ = f'(x) = -2x
m₁ = -2x

Langkah 2 : Cari nilai m₂
4y = x + 1
y =

1 / 4

x +

1 / 4

m₂ =

1 / 4

(Ingat !! Jika y = ax + b ⇒ m = a)

Langkah 3 : Cari nilai x
Karena kedua garis tegak lurus maka berlaku :
m₁ . m₂ = -1
m₁ .

1 / 4

= -1
m₁ = -4

Masukkan nilai m₁ ke dalam persamaan langkah-1 :
m₁ = -2x
-4 = -2x
x = 2

Langkah 4 : Cari nilai y dengan memasukkan nilai x = 2
y = 3 - x²
y = 3 - 2²
y = 3 - 4
y = -1
Kaprikornus titik singgungnya : (2,-1)

Langkah 5 : Menentukan persamaan garis singgung
y - y₁ = m(x - x₁)
y - (-1) = -4(x - 2)
y + 1 = -4x + 8
y = -4x + 7

Kaprikornus persamaan garis singgungnya : y = -4x + 7

Soal No.12

---

Persamaan garis menyinggung kurva y = x² - 3x - 4 di titik (4,0) merupakan .....
a. y = 5x + 20
b. y = 5x - 20
c. y = -5x + 20
d. y = -5x - 20

Pembahasan

y = x² - 3x - 4
y' = 2x - 3
m = y '(4) = 2(4) - 3 = 5
m = 5

Jadi, persamaan garis singgungnya merupakan :
y – y₁ = m(x – x₁)
y - 0 = 5 (x - 4)
y = 5x - 20

Jawab c:

Soal No.13

---

Tentukan gradien garis dengan persamaan berikut :
1.) y = 2x - 8
2.) 4x - 2y + 6 = 0
3.) 3y = 6x - 1
4.) 7x - 14y + 2 = 0

Pembahasan

1.) Untuk Persamaan : y = 2x - 8

Jika persamaan y = ax + b ⇒ m = a
y = 2x - 8
m = 2

2.) Untuk Persamaan : 4x - 2y + 6 = 0

Jika persamaan ax + by = c ⇒ m = -

a / b

4x - 2y + 6 = 0
m = -

4 / -2

m = -(-2)
m = 2

3.) Untuk Persamaan : 3y = 6x - 1

Jika persamaan ax + by = c ⇒ m = -

a / b

3y = 6x - 1
6x - 3y - 1 = 0
m = -

6 / -3

m = -(-2)
m = 2

4.) Untuk Persamaan : 7x - 14y + 2 = 0

Jika persamaan ax + by = c ⇒ m = -

a / b

7x - 14y + 2 = 0
m = -

7 / -14

m = -

1 / -2

m =

1 / 2

Tweet

Subscribe to receive free email updates: