Contoh Soal Barisan Dan Deret Geometri Beserta Jawabannya

Tutorial Matematika edisi kali ini akan membahas ihwal barisan dan deret geometri, dimana dalam bimbingan ini akan diberikan beberapa pola soal beserta dengan pembahasannya.  Tentunya soal-soal tersebut akan diberikan di saat kita sudah mengetahui ihwal dasar-dasar barisan dan deret geometri.

Pada pembahasan sebelumnya dengan judul : Contoh Soal Barisan dan Deret Aritmatika beserta Jawabannya, kita sudah menjajal mengetahui barisan dan deret aritmatika dengan beberapa pola soal. Lanjutan bimbingan kita kali menjajal ihwal barisan dan deret geometri.

Barisan dan Deret Geometri

Terlebih dulu kita akan mengetahui rancangan permulaan atau dasar-dasar dari barisan geometri yang termasuk :

• Apa itu barisan geometri ?
• Apa itu deret geometri ?

Apa itu Barisan Geometri ?

Barisan geometri yakni barisan yang memiliki rasio tetap antara dua suku barisan yang berurutan. Jika dalam barisan aritmatika, selisih antara satu suku dengan suku selanjutnya disebut dengan nilai beda. Sedangkan dalam barisan geometri selisih antar suku diistilahkan dengan rasio ( dilambangkan dengan r).

Misalkan dikenali barisan menyerupai dibawah ini :

Barisan bilangan tersebut memiliki rasio yang tetap, yakni 3 atau r = 3. Berarti, barisan tersebut ialah barisan geometri.

Contoh lain dari Barisan Geometri:

2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, ...

Barisan ini memiliki rasio 2 (r=2)
Setiap suku(kecuali suku pertama) ialah hasil perkalian suku sebelumnya dengan 2.

Secara lazim kita sanggup menulis Barisan (Urutan) Geometrik menyerupai berikut :

{a, ar, ar², ar³, ar⁴, ar⁵, ar⁶, ar⁷...}

dimana:

• a yakni suku pertama
• r yakni rasio

Rumus-Rumus Barisan Geometri

1. Untuk mencari Suku ke-n :

U_n = ar^(n-1)
dimana :

• U_n adalah suku ke-n
• a menyatakan suku pertama
• r menyatakan rasio
• n menyatakan banyaknya suku

2. Untuk mencari nilai rasio(r) :

r = U_n U_(n-1)
dimana :

• r yakni rasio
• U_n yakni suku ke-n
• U_(n-1) yakni suku ke-n sebelumnya

3. Mencari Suku Tengah 
Kita sanggup mencari suku tengah untuk suatu barisan geometri yang memilliki n suku ganjil (banyaknya suku mesti ganjil) dimana dikenali suku pertama dan rasio, maka digunakan rumus:

U_t = √a . rⁿ

dimana:

• U_t yakni suku tengah
• a yakni suku pertama
• n menyatakan banyaknya suku
• r yakni rasio

Namun jikalau untuk mencari suku tengah yang kondisinya cuma dikenali suku pertama, banyaknya n suku dan suku terakhir, maka rumusnya:

U_t = √a . U_n

dimana :

• U_t yakni suku tengah
• a yakni suku pertama
• U_n yakni suku ke-n (dalam hal ini selaku suku terakhir)

Apa itu Deret Geometri ?

Sama halnya menyerupai deret aritmatika yang ialah jumlah dari barisan aritmatika, maka deret geometri yakni hasil penjumlahan dari nilai suku suku suatu barisan geometri. Deret geometri dimengerti juga dengan sebutan deret ukur.
Contoh:

• 1 + 2 + 4 + 8 +16+32
• 3 + 6 + 12 + 24 + 48 + 96

Untuk menjumlah deret geometri terdapat dua rumus, yakni :

• Rumus Deret Geometri Turun
  Rumus deret geometri turun cuma sanggup digunakan jikalau 0 < r < 1
  
  S_n = a(1 - rⁿ) 1 - r
  dimana :
  

  • S_n yakni jumlah deret suku ke-n
  • a yakni suku pertama
  • r yakni rasio
  • n yakni banyaknya suku


• Rumus Deret Geometri Naik
  Rumus deret geometri naik cuma sanggup digunakan jikalau r > 1.
  
  S_n = a(rⁿ-1) r - 1
  dimana :
  

  • S_n yakni jumlah deret suku ke-n
  • a yakni suku pertama
  • r yakni rasio
  • n yakni banyaknya suku

Deret Geometri Tak Hingga

Dalam aneka macam soal cobaan sering ditanyakan jumlah suku tak sampai dari suatu deret geometri.

Lalu kira-kira menyerupai apa deret goemtri tak sampai tersebut ?

Deret Geometri Tak Hingga yakni penjumlahan suku-suku dalam suatu barisan geometri yang banyaknya tidak terbatas atau sanggup dibilang tak terhingga suku-suku yang hendak kita jumlahkan.

Notasi untuk menyatakan deret geometri tak sampai yakni S∞

Karena Deret Geometri Tak Hingga ialah penjumlahan suku-suku barisan geometri yang tidak terbatas jumlah sukunya, maka secara matematatis deret geometri tak sampai dirumuskan selaku berikut :

S_∞ = U₁ + U₂ + U₃ + U₄.....

atau sanggup juga ditulis dengan rumus berikut :

S_∞ =

a / 1 - r

Latihan Soal

Soal No.1

---

Diketahui suatu barisan geometri 3, 6, 12....maka suku ketujuh dari barisan geometri tersebut :
a. 128
b. 192
c.  64
d. 190

Pembahasan

a = 3
r = 2
Un = ar^(n-1)
⇒ 3.2^(7-1)
⇒ 3.2^(7-1)
⇒ 192

Jawab : b



Soal No.2

---

Diketahui suatu barisan geometri : 3, 9, 27, 81, 243. Berapakah rasio barisan geometri tersebut :
a. 4
b. 3
c. 2
d. 9

Pembahasan

Kita ambil dua bilangan terakhir yakni : 81 dan 243, maka:
U_n = 243
U_(n-1) = 81
Sehingga nilai rasio (r) :
r = U_n U_(n-1) = 243 81 = 3

Jawab :b


Soal No.3

---

Diketahui suatu barisan geometri : 5, 10, 20, 40, 80,  .... , 5120. Nilai suku tengahnya yakni :
a. 160
b. 320
c. 510
d. 640

Pembahasan

a = 5
U_n = 5120

U_t = √a . U_n

U_t = √5 . 5120 = √25600 = 160

Jawab :a


Soal No.4

---

Terdapat suatu barisan geometri sebanyak lima suku. Jika suku pertamanya yakni 3 dan rasionya yakni 3. Berapakah suku tengahnya ?
a. 27
b. 81
c. 243
d. 9

Pembahasan

a = 3
r = 3
n = 5

U_t = √a . rⁿ = √3 . 3⁵=729 = 27

Jawab : a

Untuk mempertajam pengertian pola soal di atas, simak ulasan dalam bentuk video berikut ini (dijamin paham):



Soal No.5

---

Diketahui barisan geometri dengan U₅ = 6 dan U₉ = 24. Maka suku ke-4 barisan tersebut yakni ...
A. 4√3
B. 3√3
C. 3√2
D. 2√3

Pembahasan

U_n = ar^(n-1)

U₅ = ar^(5-1)
6 = ar⁴

U₉ = ar^(9-1)
24 = ar⁸
24 = ar⁴ . r⁴
24 = 6 . r⁴
24/6 = r⁴
r⁴ = 4
r = 4√4
r = 4^¼
r = 2 ^{2 . ¼}
r = 2 ^½
r = √2

Masukkan nilai r pada U₅:
6 = ar⁴
6 = a(√2⁴)
6 = a(4)
a =

3 / 2

U₄ = ar^4-1
U₄ = ar³
U₄ =

3 / 2

(√2)³
U₄ =

3 / 2

2√2)
U₄ = 3√2

Jawab : C

Soal No.6

---

Pertumbuhan basil mengikuti pola barisan geometri. Setiap satu detik basil meningkat biak menjadi 2 kali lipat dari jumlah basil sebelumnya. Jika pada di saat permulaan terdapat 5 bakteri, maka jumlah basil berubah menjadi 320 basil setelah ....
A. 6 detik
B. 8 detik
C. 9 detik
D. 11 detik

Pembahasan

Setiap satu detik basil meningkat biak menjadi 2 kali lipat dari jumlah basil sebelumnya.
Pernyataan tersebut sanggup kita simpulkan rasio (r) = 2

Jika pada di saat permulaan terdapat 5 basil
Pernyataan ini sanggup simpulkan bahwa suku pertama (a) = 5

Jumlah basil berubah menjadi 320 bakteri.
Pernyataan di atas memiliki arti : Suku ke-n (U_n) = 320

Sekarang kita sudah sanggup yang dikenali yakni :
r = 2
a = 5
U_n = 320

Yang ditanyakan yakni : suku ke-n (detik ke berapa) ?

U_n = ar^n-1
320 = 5.2^n-1
320 5 = 2^n-1
64 = 2^n-1
2⁵ = 2^n-1
5 = n-1
5 + 1 = n
n = 6

Makara jumlah basil berubah menjadi 320 basil setelah 6 detik

Jawab : A

Soal No.7

---

Diketahui barisan geometri dengan suku ke-2 =

1 / x

dan suku ke-7 =

1 / x⁶

. Dengan demikian suku ke-10 nya yakni ....
A.

1 / x⁸

B.

1 / x⁹

C.

1 / x¹⁰

D.

1 / x¹¹

Pembahasan

ar =

1 / x

... (i)
ar⁶ =

1 / x⁶

ar.r⁵ =

1 / x⁶

... (ii)

1 / x

. r⁵ =

1 / x⁶

r⁵ = (

1 / x⁶

) . x
r⁵ =

1 / x⁵

r =

1 / x

a = 1
U₁₀ = ar⁹ = 1. (

1 / x

)⁹ =

1 / x⁹

Jawab : B

Soal No.8

---

Jika dikenali suatu deret geometri dengan U₁ = 2 dan memiliki rasio 3 serta suku tengahnya yakni 54. Tentukanlah nilai suku terakhir dari deret tersebut ?

Pembahasan

U₁ = a = 2
r = 3
U_t = 54

U_t = √a . U_n

54 = √2 . U_n

54² = (√2 . U_n)²

54² = 2 . U_n
2916 = 2U_n
2U_n
= 2916
U_n =

2916 / 2

U_n = 1458

Dengan demikian, suku terakhir (Un) dari deret tersebut yakni 1458.

Soal No.9

---

Suku pertama dan rasio antar suku dari suatu barisan geometri berturut-turut yakni 10 dan

2 / 3

. Jumlah tak sampai dari deret tersebut yakni ...
A. 10
B. 20
C. 30
D. 40

Pembahasan

a = 10
r =

2 / 3

S_∞ =

a / 1 - r

S_∞ =

10 / 1 - 2 3

S_∞ =

10 / 1 3

S_∞ = 10 x 3
S_∞ = 30

Jawab : C

Tweet

Subscribe to receive free email updates: