Contoh Soal Persamaan Linear Tiga Variabel Beserta Pembahasannya

Tutorial matematika kita kali ini akan menyuguhkan beragam pola soal ihwal persamaan linear tiga variabel.

Seperti yang kita ketahui, Persamaan linear tiga variabel ialah suatu tata cara persamaan yang mengandung tiga variabel. Bentuk ini satu tingkat lebih rumit dibandingkan tata cara persamaan linear 2 variabel.

Pada bimbingan sebelumnya, kita sudah banyak menyuguhkan pola soal ihwal :

Dalam beberapa pola soal nantinya, terdapat soal berupa alur dongeng yang menuntut kita mesti sanggup memodelkan soal dongeng tersebut dalam bentuk persamaan linear tiga variabel, sehabis itu gres kita sanggup melanjutkannya dalam mencari masing-masing nilai dari ketiga variabel tersebut.

Apa itu Persamaan Linear Dua Variabel ?

Seperti yang diutarakan di atas, persamaan linear tiga variabel ialah persamaan yang memiliki tiga variabel dengan masing-masing variabel berderajat satu.

Bentuk lazim dari persamaan linear tiga variabel memiliki bentuk lazim :

ax + by + cz = d Keterangan: - x, y, z yakni variabel - a yakni koefisien variabel x - b yakni koefisien variabel y - c yakni koefisien variabel z - d yakni konstanta Dengan catatan : a, b, c yakni bilangan real dan a>0, b>0, c>0

Cara Penyelesaian Persamaan Linear Tiga Variabel

Terdapat beberapa cara dalam mencari himpunan solusi dariSistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV), yakni :

Metode eliminasi
Metode subsitusi
Metode eliminasi-subsitusi
Metode determinan matriks

Perlu diketahui, solusi persamaan linear tiga variabel lebih sering menggunakan metode gabungan eliminasi dan subsitusi, sama menyerupai dalam solusi persamaan linear dua variabel. Untuk itu dalam latihan soal kali ini, kita akan menggunakan metode gabungan eliminasi-substitusi.

Latihan Soal Persamaan Linear Tiga Variabel

Soal No.1

Carilah himpunan solusi tata cara persamaan berikut:

5x - 3y + 2z = 3
8x - 5y + 6z = 7
3x + 4y - 3z = 15

Pembahasan

5x - 3y + 2z = 3  .....(1) 8x - 5y + 6z = 7  .....(2) 3x + 4y - 3z = 15 .....(3)   Langkah 1 : Eliminasi persamaan (1) dan (2) 5x - 3y + 2z = 3 |x3| ⇔ 15x - 9y + 6z = 9 8x - 5y + 6z = 7 |x1| ⇔  8x - 5y + 6z = 7                          _________________ _         7x - 4y      = 2 .....(4)          Langkah 2 : Eliminasi persamaan (1) dan (3) 5x - 3y + 2z = 3   ⇔ 15x - 9y + 6z = 9 3x + 4y - 3z = 15 |x2| ⇔  6x + 8y - 6z = 30         _________________ _         21x - y      = 39 .....(5)          Langkah 3 : Eliminasi persamaan (4) dan (5) 7x - 4y = 3   |x3|  ⇔ 21x - 12y = 6 21x - y = 39  |x1|  ⇔ 21x -   y = 39                        ______________ _              -11y = -33                                y = 3   Langkah 4 : Substitusi y = 3 ke persamaan (4) ⇔ 7x - 4y  = 2  ⇔ 7x - 4(3)= 2 ⇔ 7x - 12  = 2         ⇔ 7x = 2 + 12 ⇔ 7x = 14 ⇔ x = 2  Langkah 5 : Substitusi x =2 dan y = 3 pada persamaan(1) ⇔ 5x   -  3y   + 2z = 3 ⇔ 5(2) -  3(3) + 2z = 3 ⇔ 10 - 9 + 2z = 3 ⇔ 2z = 2 ⇔ z = 1  Makara himpunan penyelesaiannya yakni {(2, 3, 1)}

Soal No.2

Carilah himpunan solusi tata cara persamaan berikut dengan metode substitusi:

x + y + z = -6
x – 2y + z = 3
-2x + y + z = 9

Pembahasan

x   + y  + z = -6 .....(1) x   – 2y + z =  3 .....(2) -2x +  y + z =  9 .....(3)   Langkah 1 : Ubah persamaan (1) menjadi : x + y + z = -6 = 28 ⇔ z = -x - y - 6 .....(4)  Langkah 2 : Substitusi persamaan(4) kedalam persamaan (2) ⇔ x – 2y + z =  3  ⇔ x – 2y + (-x - y - 6) = 3  ⇔ -3y - 6 = 3 ⇔ -3y = 9 ⇔   y = -3  Langkah 3 : Substitusi persamaan(4) kedalam persamaan (3) ⇔ -2x + y + z = 9 ⇔ -2x + y + (-x - y - 6) = 9 ⇔ -2x + y -x - y - 6 = 9 ⇔ -3x - 6 = 9 ⇔ -3x = 15 ⇔   x = -5  Langkah 4 : Masukkan nila x dan y yang diperoleh ke persamaan(1) ⇔  x + y + z = -6 ⇔ -5 - 3 + z = -6 ⇔ -8 + z = -6 ⇔ z = 2  Makara himpunan penyelesaiannya yakni {(-5,-3,2)}

Soal No.3

Pak kebijaksanaan memiliki toko kelontong yang memasarkan adonan beras A, beras B dan beras C yang dijual dengan pembagian teratur perihal berikut :

Campuran 3 kg beras A, 2 kg beras B, dan 2 kg beras C dijual seharga Rp19.700,00.
Campuran 2 kg beras A, 1 kg beras B, dan 2 kg beras C dijual Rp14.000.
Campuran 2 kg beras A, 3 kg beras B, dan 1 kg beras C dijual seharga Rp17.200,00.

Hitunglah harga tiap kg beras A, B, dan C ?

Pembahasan

Misal : a = harga beras per kg beras A b = harga beras per kg beras B c = harga beras per kg beras C  Langkah 1: Buat versi matematikanya 3a + 2b + 2c = 19.700 .....(1) 2a +  b + 2c = 14.000 .....(2) 2a + 3b +  c = 17.200 .....(3)  Langkah 2: Eliminasi persamaan(1) dengan (2) 3a + 2b + 2c = 19.700 2a +  b + 2c = 14.000 _____________________ _  a + b       =  5.700 .....(4)   Langkah 3: Eliminasi persamaan(1) dengan (3) 3a + 2b + 2c = 19.700 |x1| ⇔ 3a + 2b + 2c = 19.700  2a + 3b +  c = 17.200 |x2| ⇔ 4a + 6b + 2c = 34.400                               _____________________ _          -a - 4b      = 14.700 .....(5)           Langkah 4 : Eliminasi persamaan(4) dengan (5) a  +  b =  5.700 -a - 4b = 14.700 ________________ +     -3b = -9.000    b = 3.000     Langkah 5 : Substitusi nilai b pada persamaan (4) ⇔ a + b = 5.700 ⇔ a + 3.000 = 5.700 ⇔ a = 5.700 - 3.000 ⇔ a = 2.700  Langkah 6 : Substitusi nilai a dan b pada persamaan(2) ⇔ 2a +  b + 2c = 14.000 ⇔ 2(2700) + 3000 + 2c = 14.000 ⇔    5400 + 3000 + 2c = 14.000 ⇔           8400 + 2c = 14.000 ⇔                  2c = 14.000 - 8.400 ⇔                  2c =  5.600 ⇔                   c =  2.800  Dengan demikian sanggup kita simpulkan : - harga per kg beras a = Rp 2.700 - harga per kg beras b = Rp 3.000 - harga per kg beras c = Rp 2.800

Soal No.4

Pada suatu hari, tiga sobat yang berjulukan Ali, Badar, dan Carli berbelanja di suatu toko buku. Mereka berbelanja buku tulis, pensil dan penghapus. Hasil belanja mereka di toko buku yakni selaku berikut :

Ali berbelanja dua buah buku tulis, suatu pensil, dan suatu penghapus seharga Rp 4.700
Badar berbelanja suatu buku tulis, dua buah pensil, dan suatu penghapus seharga Rp 4.300
Carli berbelanja tiga buah buku tulis, dua buah pensil, dan suatu penghapus seharga Rp7.100

Berapa harga untuk suatu buku tulis, suatu pensil, dan suatu penghapus ?

Pembahasan

Misal : x = Harga untuk suatu buku tulis  b = Harga untuk suatu pensil c = Harga untuk suatu penghapus  Langkah 1: Buat versi matematikanya 2x +  y + z = 4.700 .....(1)  x + 2y + z = 4.300 .....(2) 3x + 2b + z = 7.100 .....(3)  Langkah 2: Eliminasi persamaan(1) dengan (2) 2x +  y + z = 4.700  x + 2y + z = 4.300 _____________________ _  x - y       =  400 .....(4)   Langkah3: Eliminasi persamaan(2) dengan (3)   x + 2y + z = 4.300 3x + 2b + z = 7.100 _____________________ _         ⇔ -2x = -2.800         ⇔   x = 1400    Langkah 4: Substitusi nilai x ke persamaan(4) ⇔ x - y = 400 ⇔ 1400 - y = 400 ⇔        y = 1000  Langkah 5: Substitusi nilai x,y ke persamaan(1) ⇔ 2x +  y + z = 4.700 ⇔ 2(1.400) +  1.000 + z = 4.700 ⇔    2.800 +  1.000 + z = 4.700 ⇔             3.800 + z = 4.700 ⇔                     z = 900   Dengan demikian sanggup dikenali : - Harga suatu buku tulis yakni Rp1.400,  - Harga suatu pensil yakni Rp 1.000,  - Harga ebuah penghapus yakni Rp 900,

Soal No.5

Selesaikan persamaan di bawah ini dengan metode eliminasi dan substitusi ?

x + y - z = -3
x + 2y + z = 7
2x + y + z = 4

Pembahasan

x  + y  - z = -3 ....(1) x  + 2y + z =  7 ....(2) 2x +  y + z =  4 ....(3)  Langkah 1 : Eliminasi persamaan (1) dan (2) x  + y  - z = -3 x  + 2y + z =  7 ________________ + 2x + 3y     =  4 ....(4)  Langkah 2 : Eliminasi persamaan (1) dan (3) x  + y  - z = -3 2x + y  + z =  4 ________________ + 3x + 2y     =  1 ....(5)  Langkah 3 : Eliminasi persamaan (4) dan (5) 2x + 3y = 4  |x3|  ⇔  6x + 9y = 12  3x + 2y = 1  |x2|  ⇔  6x + 4y =  2                        ____________ _                             5y = 10                               y = 10/5                              y = 2  Langkah 4 : Substitusi y = 2 ke persamaan (4) ⇔ 2x + 3y = 4 ⇔ 2x + 3(2) = 4 ⇔ 2x + 6 = 4 ⇔ 2x = 4 - 6 ⇔ 2x = -2 ⇔ x = -1  Langkah 5 : Substitusi x = -1 dan y = 2 pada persamaan(1) ⇔ x  + y  - z = -3 ⇔ -1  + 2  - z = -3 ⇔ 1 - z = -3 ⇔ - z = -3 - 1 ⇔ - z = -4 ⇔ z = 4  Makara himpunan penyelesaiannya yakni {(-1, 2, 4)}