Contoh Soal Persamaan Linear Dua Variabel Beserta Jawabannya

Tutorial matematika kali ini akan membahas tentang Persamaan Linear Dua Variabel. Pada edisi panduan pembelajaran matematika sebelumnya, kita sudah membahas tentang apa yang dimaksud dengan persamaan linear satu variabel yang kemudian dilanjutkan dengan teladan soal serta tindakan penyelesaiannya.

Nah, dalam panduan ini, kita akan melanjutkan pembahasan persamaan linear, tetapi persamaan linear yang kita diskusikan dengan menggunakan dua variabel yang biasa disebut dengan persamaan linear dua variabel. Seperti biasa, kita akan mengawali apalagi dulu dengan pengertian dasar apa yang dimaksud dengan persamaan linear dua variabel, kemudian dimana letak perbedaan dengan persamaan linear satu variabel kemudian gres kita masuki latihan soal beserta tindakan penyelesaiannya.

Apa itu Persamaan Linear Dua Variabel ?

Persamaan linear dua variabel yakni persamaan linear yang memiliki dua variabel, dengan pangkat masing-masing variabel yakni satu. Persamaan Linear Dua Variabel memiliki bentuk biasa :

 ax + by = c dimana x dan y yakni variabel dan a, b, c ∈ R (a ≠ 0, b ≠ 0).

Contoh Persamaan Linear Dua Variabel
Yang manakah dibawah ini yang dianggap selaku pertidaksamaan linear satu variabel:
a.  2x - y  = 10
b. 5x - 3y + 2 = 2x + 2y + 12
c. 2x - 2 = 10
d. 𝑝2 − 2𝑝 + 1 ≤ 0

Penyelesaian:
a. Variabel pada persamaan : 2x - y  = 10 yakni x dan y dan pangkat dari masing-masing variabel tersebut yakni 1. Maka persamaan tergolong dalam persamaan linear dua variabel.

b. Variabel pada persamaan : 5w - 3z + 2 = 2w + 2z+ 12 yakni w dan z dan masing-masing variabel berpangkat satu. Karena memiliki dua variabel (w dan z) dan berpangkat satu, maka tergolong persamaan linear dua variabel.

c. Variabel pada persamaan :  2x - 2 = 10 yakni x dan berpangkat satu. Karena cuma terdapat satu variabel, maka persamaan ini bukan tergolong persamaan linear dua variabel.

d. Variabel pada persamaan : 𝑝2 − 2𝑝 + 1 ≤ 0 yakni p yang berpangkat satu dan dua. Karena cuma terdapat dua variabel yang cuma dibedakan dari pangkatnya, maka dianggap variabel tersebut satu jenis atau satu saja. Dengan demikian dianggap bukan persamaan linear dua variabel.

Cara Penyelesaian Persamaan Linear Dua Variabel

Berikut ini beberapa cara yang sanggup digunakan dalam mengakhiri suatu persamaan linear dua variabel :

1. Metode substitusi

Metode subtitusi dijalankan dengan mengambil alih suatu variabel dengan variabel dari persamaan lain.

Misal :

2x – y = 6 ……(i) x  + y = 3 ……(ii)

Langkah Pertama
Dirubah salah satu persamaan dalam bentuk x = …. Atau y = ….
Dari persamaan (i), kita sanggup mendapatkan :

 2x – 6 = y       y = 2x -6 

Langkah kedua 
Subtitusikan persamaan diatas ke perssamaan (ii) sehingga didapatlah nilai x:

x + (2x – 6) = 3      3x – 6  = 3           3x = 3 + 6           3x = 9            x = 3

Langkah Ketiga
Nilai x = 3 dimasukkan ke persamaan (i) atau ke persamaan (ii).
Misalkan x = 3 disubtansikan ke persamaan (ii), sehingga didapatlah nilai y:

x + y = 3 3 + y = 3     y = 3 - 3     y = 0

Jika sendaianya x = 3 dimasukkan ke persamaan (i), sehinggap nilai y :

2x  – y = 6 2.3 - y = 6   6 – y = 6       y = 6-6       y = 0

Dengan demikian tidak ada duduk problem apakah dimasukkan ke persamaan (i) atau (ii) maka nilai y yang diperoleh tetap sama.
jadi, penyelesaiannya yakni x = 3 dan y = 0, ditulis HP = {(3,0)}

2. Metode eliminasi

Metode eliminasi dijalankan dengan cara menetralisir salah satu variabel.

Misal :

2x – y = 6 ……(i) x  + y = 3 ……(ii)

Langkah awal 
Kita sanggup menetralisir salah satu variabel, baik variabel x maupun y. Untuk menetralisir variabelnya, amati kedua persamaan tersebut, berapa kali berapa sehingga jika ditambah atau dikurangi maka ada variabel yang hilang.

Dalam langkah ini, kita ingin menetralisir variabel x apalagi dahulu. Kita tahu tedapat nilai 2x di persamaan (i) dan nilai x di persamaan (ii). Agar hilang maka kita kalikan satu (x 1) pada persamaan (i) dan kali dua di persamaan dua (ii), kemudian hasil perkaliannya dikurangi :

2x – y = 6 |x 1| ⇔ 2x – y  = 6  x + y = 3 |x 2| ⇔ 2x + 2y = 6  2x -  y = 6 2x + 2y = 6 ___________ _      -3y = 0        y = 0  

Langkah Kedua
Kita akan hilangkan variabel y
Jika kita lihat persamaan (i) memiliki nilai -y dan persamaan (ii) memiliki nilai y, maka kedua persamaan tersebut eksklusif sanggup dijumlahkan mudah-mudahan hilang variabel y.

2 x – y = 6   x + y = 3 ___________ +      3x = 9       x = 3 

jadi, penyelesaiannya yakni x = 3 dan y = 0, ditulis HP = {(3,0)}

3. Metode Campuran (Penggabungan Metode Substitusi + Metode Eliminasi)

Metode ini dijalankan dengan menggbungkan metode eliminasi dan metode substitusi

Misal :

2x – y = 6 ……(i) x  + y = 3 ……(ii)

Langkah awal 
Kita laksanakan metode eliminasi dengan menetralisir variabel x
2x – y = 6 |x 1| ⇔ 2x – y = 6

 x + y = 3 |x 2| ⇔ 2x + 2y = 6  2x -  y = 6 2x + 2y = 6 ___________ _      -3y = 0        y = 0  

Langkah Kedua
Pada langkah ke-2 ini, dijalankan metode substitusi yakni dengan memasukkan nilai ke suatu persamaan.

Masukkan nilai y yang di sanggup ke persamaan (i) atau ke persamaan ke (ii). Misal kita masukkan ke persamaan (i), maka:

2x – y = 6 2x - 0 = 6     2x = 6      x = 3 

jadi, penyelesaiannya yakni x = 3 dan y = 0, ditulis HP = {(3,0)}

4. Metode Grafik

Pada metode grafik, kita mesti menggambarkan grafik dari kedua persamaan. Titik potong antara dua grafiklah yang diambil selaku penyelesaiannya.

Misal, kita memiliki dua persamaan :

x + y  = 4   ......(i) x + 2y = 6   ......(ii)

Langkah Pertama
Kita akan mengambar grafik untuk persamaan (i) : x + y = 4.
Untuk menggambarkan grafiknya, pastinya mesti dicari titik potong di x dan di y, sehingga :

Jika x = 0, maka: x + y = 4 0 + y = 4 y = 4 => titik potong di y (0, 4)  Jika y = 0, maka: x + y = 4 x + 0 = 4 x = 4, => titik potong di x (4, 0)  Makara titik potong persamaan x + y = 4 yakni (0,4) dan (4,0)

Langkah Kedua
Kita akan mengambar grafik untuk persamaan (ii) : x + 2y = 6

Jika x = 0, maka: x + 2y = 4 0 + 2y = 4      y = 2 => titik potong di y (0, 2)  jika y = 0, maka: x + 2y = 6 x + 0 = 6 x = 6, => titik potong di x (6, 0) Makara titik potong persamaan x + 2y = 6 yakni (0,2) dan (6,0)

Langkah Ketiga
Dari titik potong persamaan(i) dan persamaan (ii) kita gambarkan grafiknya seumpama gambar dibawah ini :

Dari gambar diatas, koordinat titik potong kedua garis tersebut yakni (3, 1). Dengan demikian, himpunan solusi yakni {(3, 1)}.

Latihan Soal

Soal No.1
Umur Dina 7 tahun lebih muda dari umur Desi. Jumlah umur mereka yakni 43 tahun. Berapakah umur Dina dan Desi ?.

Pembahasan

Misalkan :Umur Dina = x            Umur Desi = y  Maka : Umur Dina 7 tahun lebih muda dari umur Desi         sanggup dibentuk menjadi suatu persamaan : y – x = 7...(1)         Jumlah umur mereka yakni 43 tahun        sanggup dibentuk menjadi suatu persamaan : x + y = 43...(2)   Persamaan (1) : y - x = 7                     y = 7 + x  Lalu subtitusikan y = 7 + x kedalam persamaan (2) x +     y = 43 x + 7 + x = 43    2x + 7 = 43        2x = 43 - 7        2x = 36         x = 18  Jadi, umur Dina yakni 18 tahun dan umur Des 25 tahun.

Soal No.2
Diketahui :

4x + 3y = 34 ... Persamaan (i) 5x +  y = 37 ... Persamaan (ii) 

Tentukanlah nilai x dan y dengan metode eleminasi ?

Pembahasan

Langkah Pertama
Untuk mengeliminasi variabel y, maka persamaan nomor 1 dikalikan dengan 1 dan persamaan nomor 2 dikalikan dengan 3. Kedua persamaan dikurangkan mudah-mudahan variabel y hilang.

4x + 3y = 34 |x 1| ⇔  4x + 3y = 34  5x +  y = 37 |x 3| ⇔ 15x + 3y = 111   4x + 3y = 34 15x + 3y = 111 _____________ -      -11x = -77        x = 7 

Langkah Kedua
Untuk mencari nilai y, persamaan nomor 1 dikalikan dengan 5 dan persamaan nomor 2 dikalikan dengan 4. Kedua persamaan dikurangi mudah-mudahan variabel x hilang.

4x + 3y = 34 |x 5| ⇔  20x + 15y = 170 5x +  y = 37 |x 4| ⇔  20x +  4y = 148  20x + 15y = 170 20x +  4y = 148 _____________ -        11y = 22         y = 2 

Makara Nilai x = 7 dan nilai y = 2.

Soal No.3

---

Carilah solusi dari metode persamaan linear dua variabel berikut ini dengan metode substitusi:

x  + y   = 8    ... Persamaan (i) 2x + 3y  = 19   ... Persamaan (ii) 

Pembahasan

A. Langkah Pertama

Dari persamaan(i) kita sanggup mendapatkan nilai x selaku berikut :

⇔ x + y   = 8   ⇔ x = 8 - y ....(iii) 

B. Langkah Kedua

Berikutnya kita substitusikan persamaan (iii) ke dalam persamaan (ii) :

⇔ 2x + 3y = 19  ⇔ 2(8 - y) + 3y = 19 ⇔ 16 - 2y  + 3y = 19   ⇔ 16 + y = 19 ⇔ y = 3 

C. Langkah Ketiga

Nilai y = 3 kita substitusikan ke dalam persamaan (i) :

⇔ x + y = 8  ⇔ x + 3 = 8 ⇔ x = 8 - 3 ⇔ x = 5

Jadi, solusi dari persamaan tersebut yakni x = 5 dan y = 3

Soal No.4 (UN 2016)

---

Seorang tukang parkir memperoleh duit sebesar Rp17.000,00 dari 3 buah kendaraan beroda empat dan 5 buah motor, sedangkan dari 4 buah kendaraan beroda empat dan 2 buah motor ia memperoleh duit Rp18.000,00. Jika terdapat 20 kendaraan beroda empat dan 30 motor, banyak duit parkir yang diperoleh yakni ...
A. Rp135.000,00
B. Rp115.000,00
C. Rp110.000,00
D. Rp100.000,00

Pembahasan

A.Langkah Pertama
Buat pemodelan matematika dengan menyebabkan informasi dalam soal menjadi suatu persamaan.

Misalkan: Mobil = x            Motor = y  Maka : Seorang tukang parkir memperoleh duit sebesar Rp17.000,00         dari 3 buah kendaraan beroda empat dan 5 buah motor sanggup dibentuk menjadi         suatu persamaan menjadi :      3x + 5y = 17.000 ...(1)         Sedangkan dari 4 buah kendaraan beroda empat dan 2 buah motor ia memperoleh         duit Rp18.000,00 sanggup dibentuk menjadi suatu         persamaan menjadi :              4x + 2y = 18.000 ...(2) 

B.Langkah Kedua
Untuk mengeliminasi variabel x, maka persamaan nomor 1 dikalikan dengan 4 dan persamaan nomor 2 dikalikan dengan 3. Kedua persamaan dikurangkan mudah-mudahan variabel x hilang.

3x + 5y =17.000 | x4 |12x + 20y = 68.000 4x + 2y =18.000 | x3 |12x +  6y = 54.000   12x + 20y = 68.000 12x +  6y = 54.000 __________________ _        14y = 14.000         y = 14.000/14         y = 1.000

C.Langkah Ketiga
Kita laksanakan proses subtitusi nilai y = 1.000 ke persamaan (1):

3x+ 5y = 17.000 ⟺ 3x + 5(1.000) = 17.000 ⟺ 3x + 5.000 = 17.000 ⟺ 3x = 17.000 – 5.000 ⟺ 3x = 12.000 ⟺ x = 12.000/3 ⟺ x = 4.000

D.Hitung Uang Parkir 20 kendaraan beroda empat dan 30 motor
Sekarang kita sudah memperoleh biayar parkir dimana :
1 Mobil = Rp 4.000
1 Motor = Rp 1.000

Maka Biaya Uang Parkir 20 kendaraan beroda empat dan 30 motor yakni :

⟺ 20 x + 30 y  ⟺ 20(4.000) + 30(1.000) ⟺ 80.000 +  30.000 ⟺ 110.000

Jawab : C

Soal No.5

---

Carilah himpunan solusi metode persamaan dua variabel berikut dengan metode eliminasi:

x + 5y = 13 ...Persamaan (i)
2x - y = 4 ...Persamaan (ii)

Pembahasan

Langkah Pertama Untuk mengeliminasi variabel x, maka persamaan nomor 1 dikalikan dengan 2 dan persamaan nomor 2 dikalikan dengan 1. Kedua persamaan dikurangkan mudah-mudahan variabel x hilang.

x + 5y = 13 |x 2| ⇔ 2x + 10y = 26 2x - y = 4  |x 1| ⇔ 2x -   y = 4   2x + 10y = 26 2x -   y =  4 ______________ _      11y = 22        y = 2

Langkah Kedua Untuk mengeliminasi variabel y, maka persamaan nomor 1 dikalikan dengan 1 dan persamaan nomor 2 dikalikan dengan 5. Kedua persamaan dijumlahkan mudah-mudahan variabel y hilang.

x + 5y = 13 |x 1| ⇔   x + 5y = 13 2x - y = 4  |x 5| ⇔ 10x - 5y = 20    x + 5y = 13 10x - 5y = 20 ______________ +      11x = 33        x = 3

Makara Nilai x = 3 dan nilai y = 2.

Anda sanggup menyimak beberapa klarifikasi teladan soal dalam video berikut ini :

Tweet

Subscribe to receive free email updates: